隧道施工引起地層位移預測模型的對比分析摘要：在我國城市隧道施工引起的地面變形的研究和工程領域中，隨機介質理論法和 Peck 法是 2 種應用較廣的方法。但是目前對這 2 種方法各自的應用條件、二者的理論聯系、計算結果的關系等方面還沒有明確的結論。除此以外，由于隨機介質理論法應用經驗相對少，相應的關鍵參數的取值方法也很不成熟，基于理論背景研究和實際算例分析，對隨機介質理論法和 Peck 法進行深入全面的比較和探討。經過推導認為，Peck 法適用于隧道埋深較大、隧道開挖面積較小的情況，是隨機介質理論法在隧道埋深較大情況下的一個近似，而不適用于超淺埋的情況。在此基礎上，比較二者計算參數的關系，并對隨機介質法的 2 個關鍵計算參數，即主要影響角和斷面收縮半徑提出簡單而有效的工程確定方法，大大地增強隨機介質理論法的工程實用性。通過較多實際工程的驗證，證明上述方法的有效性和可靠性。關鍵詞：隧道工程；地鐵；地層位移；沉降槽；隨機介質理論法；Peck 法；計算參數1 引 言 目前我國已經進入城市地鐵建設的高峰期，地鐵隧道開挖在城市環境中會引起一系列的工程災害問題，其中最為顯著的就是地面變形問題。在這一領域，隨機介質理論法和 Peck 法是 2 種應用較廣的地層位移預測方法。隨機介質理論是波蘭學者 J.Litwiniszyn 于 20 世紀 50 年代提出的，經過我國學者陽軍生和劉寶琛[1，2]的進一步發展和完善，該理論與經典的 Peck 法一起成為目前國內工程中應用廣泛的 2 種簡便的實用方法之一。 在應用 Peck 法和隨機介質理論法時，很多文獻都指出，用隨機介質理論得到的沉降分布形態和Peck 法獲得的結果相似，也有報道認為隨機介質理論得到的結果也符合高斯分布函數，即與 Peck 法具有相同的形式[3，4]。上述都是基于工程實踐得到的認識。隨機介質理論法來源于礦業工程，在我國被引入到城市土中地鐵隧道引起的地層位移預測則是最近幾年的事，因此在具體的工程應用中還存在很多不明確的地方，特別是對其中的關鍵參數的取值還沒有成熟的方法。 有鑒于此，本文對這 2 種方法進行全面比較，深入分析隨機介質理論法和 Peck 法的關系，并給出隨機介質理論法中的關鍵參數的確定方法。通過上述工作，可大大地增強隨機介質理論法的工程實用性。2 隨機介質理論法和 Peck 法的基本原理2.1 Peck 法 R. B. Peck[5]在大量實測資料分析的基礎上，于1969 年在國際土力學大會上提出地表沉降槽的橫斷面大致遵循正態分布曲線(又稱高斯分布曲線)規律，后來又經過很多學者的補充和完善。相應的地層沉降位移預測模型[5～8]為
式中： sm ax為在曲線的對稱點處(即隧道中心線的正上方)所發生的最大沉降，i 為從隧道中心線到沉降曲線的拐點處的水平距離。 計算 i 的一個廣泛采用的方法是 M. P. O′Reilly和 B. M. New[9]根據倫敦地區使用的工程經驗提出的，即認為 i 和隧道軸線埋深 z 0之間存在簡單的線性關系：i = Kz0 (2) 式中：K 為沉降槽寬度系數。 若引入地層損失率 Vl 的概念，式(1)可寫為 式中： Vl 為地層損失率，定義為單位長度的地表沉降槽的體積占隧道開挖的名義面積 A 的百分比。 Peck 法的提出使沉降的預測在數學上大大簡化。經過 30 多年工程實踐驗證，已經積累豐富的實際應用經驗，被證明是一個有效的預估沉降的方法。目前，Peck 法已經成為一個經典公式，很多其他的經驗方法都是在這一方法的基礎上進行修正而得來的。2.2 隨機介質理論法 隨機介質理論將巖土體視為一種“隨機介質”，將開挖巖土體引起的地表下沉視為一個隨機過程。從統計觀點，可將整個隧道開挖看作無限多個無限小的開挖對上部地層影響的總和。如圖 1 所示的一個開挖單元，在不排水、不固結、密度不變化條件下，當開挖單元完全塌落時，上部地層的坐標點( x ，y ，z)的下沉[2](即地表的橫向沉降槽)為 式中： r (z)為微單元開挖在深度為 z 的水平面上的主要影響半徑，或稱為主要影響范圍。 根據荷蘭學者 S. Knothe[10]提出的采礦工程中的經驗，沉陷槽主要影響范圍為r ( z)= z/tanβ (5) 式中： β 為隧道上部圍巖的主要影響角。 根據上述定義，對于地面沉降槽( z = z0)，β 的含義如圖 2 所示。 將式(4)對預先定義的某種類型的塌陷形式在塌陷面積上進行積分(如圖 3 所示)，就可獲得該情況下隧道上覆地層的位移：3 隨機介質理論與 Peck 法的關系 在式(3)中， AV l的物理意義就是隧道開挖后的收斂面積(即隧道斷面面積的減小)。假定一個微型隧道用微元 dξ dη表示(且完全塌陷)，則收斂的面積應為 d ξdη，將其代替式(3)中的 AVl ，可得 經過式(9)的轉換就可得到與 Peck 法完全相同的結果。因此可明確以下結論：對于一個足夠小的開挖單元引起的地面沉降，隨機介質理論和 Peck法得到的沉降槽分布特點和趨勢一致，若二者采用相同的沉降槽寬度，即式(9)成立，則具體沉降計算結果也是一致的。這里所謂的“足夠小的開挖單元”，在工程中可理解為：相應于其開挖半徑或開挖面積，其埋深足夠大。這一結論將在后面進一步用計算結果證明。 經過上述推導分析，可看到 Peck 法可看作是隨機介質理論法在埋深較大的小斷面隧道的一個近似，即 z 0 /R(R 為隧道開挖半徑)足夠大的情況。由此也可解釋 2 種方法在很多情況下得到的結果也比較近似的原因。而隨機介質方法得到的地表沉降曲線則相當于一系列微元開挖引起的地表高斯曲線的疊加，與隧道開挖面的幾何性質有關系，因此嚴格意義上講一般不符合高斯分布。 綜上所述，Peck 法的適用條件應該是埋深大、半徑小的隧道開挖。對于淺埋的大斷面隧道，其引起的地面變形不可避免地要受到開挖斷面形狀和隧道收斂具體情況的影響。隨機介質理論由于是直接基于隧道開挖前后斷面面積上的積分，因此可反映斷面形狀和隧道收斂情況的影響，因此從理論上來看，要比 Peck 法適用性更廣。當然，對于一般城市地鐵隧道，以北京為例，埋深 20～30 m，直徑φ 4～6 m，能夠滿足上述 Peck 法的適用條件，因此具有良好的實用效果。4 隨機介質理論法的參數確定 在隨機介質理論中，需要確定 2 個關鍵參數：β和 △ R。而隨機介質理論是最近 3～5 a 來剛剛從礦業工程領域引入城市淺埋地鐵隧道開挖引起地面變形計算中，因此對相關的計算參數的基本規律和選用還缺乏經驗。相對而言，Peck 法在國內外的應用更加廣泛，也已經積累很多經驗。公式中所應用的2 個關鍵參數，即沉降槽寬度系數 K 和地層損失系數 Vl，不僅對其影響因素有很多研究成果，且也提出很多行之有效的計算或預測方法，各地還積累一定的經驗取值方法。 因此，在明確隨機介質理論法和 Peck 法的關系的基礎上，進一步討論 2 種方法的關鍵計算參數之間的關系，在隨機介質理論中引入 Peck 法的相關經驗，以便使隨機介質理論法的應用進一步符合工程實際。4.1 主要影響角β 在隨機介質理論法中，主要影響角 β 控制計算沉降槽的寬度。這與 Peck 法中的沉降槽寬度系數 K的作用是相同的。因此二者存在理論上的相關關系。 將式(5)代入式(9)，可得 式(10)即為 Peck 法中的沉降槽寬度 i 和隨機介質理論法中的主要影響角 β 的關系。以下對其中的沉降槽寬度 i 采用 2 種常用的表達式進行分析，進一步研究。 (1) Knothe 公式 在隨機介質理論中，目前采用的 Knothe 公式[10]為 如果將常用的 i = 0. 5z0代入式(10a)，則可得到β =38.66，相當于 Ф=12.68°。具有這樣指標的土一般為軟弱黏性土。這與“倫敦硬黏土中一般 K 的均值為 0.5 左右”的一般概念明顯不符。可見，若按照土的實際內摩擦角? 值代入計算，將得到較小的 β 角，也會得到較大的影響范圍，最終計算得到的沉降槽會過于平緩。 (2) 本文建議方法 采用 i = Kz0，則式(10a)可進一步寫為 根據不同土類的 K 的經驗值(主要來源于英國)，繪于圖 4 中。同時圖中還繪出根據目前普遍采用的 Knothe 公式得到的曲線。由圖 4 可知，在土中隧道開挖引起的沉降槽寬度的基本規律與 Knothe公式相反，即隨著土層內摩擦角的增大，沉降槽寬度減小。這主要是由于 Knothe 公式主要適用于各類巖石，與土作為散體介質的沉陷變形機制不同所致。一個直觀的概念是，砂類土的沉降槽相對于硬黏性土來說要窄而深，這是符合工程實際的。采用一個線性關系[11，12]可很好地描述上述數據，即K =1-0.02Ф (14) 式(15)是根據隧道開挖、土質情況直接得到的影響角的一個初步的經驗計算公式，在工程實踐中易于應用，且采用加權平均的辦法，很容易考慮分層土的情況，是本文建議在工程中采用的方法。4.2 斷面收縮半徑△R 隨機介質理論方法中的斷面收縮半徑△R 和Peck法中的地層損失系數Vl在計算中具有相同的作用，均以某種形式反映隧道開挖后斷面面積的變化情況，因此二者之間的關系是顯而易見的。經過簡單的面積計算公式推導，斷面收縮半徑?R 可方便地與地層損失系數 Vl建立關系[13]，本文不再贅述。5 算例分析5.1 2 種方法預測結果的基本規律 為驗證上述分析結果，分別采用隨機介質法和Peck 法計算不同埋深的圓形隧道的地面沉降情況。隧道半徑為 3 m，半徑收縮 0.1 m，影響角 50°。換算 Peck 參數為地層損失系數 6.56%，沉降槽寬度系數 0.336。計算結果如圖 5，6 所示。
式中： sm ax為在曲線的對稱點處(即隧道中心線的正上方)所發生的最大沉降，i 為從隧道中心線到沉降曲線的拐點處的水平距離。 計算 i 的一個廣泛采用的方法是 M. P. O′Reilly和 B. M. New[9]根據倫敦地區使用的工程經驗提出的，即認為 i 和隧道軸線埋深 z 0之間存在簡單的線性關系：i = Kz0 (2) 式中：K 為沉降槽寬度系數。 若引入地層損失率 Vl 的概念，式(1)可寫為 式中： Vl 為地層損失率，定義為單位長度的地表沉降槽的體積占隧道開挖的名義面積 A 的百分比。 Peck 法的提出使沉降的預測在數學上大大簡化。經過 30 多年工程實踐驗證，已經積累豐富的實際應用經驗，被證明是一個有效的預估沉降的方法。目前，Peck 法已經成為一個經典公式，很多其他的經驗方法都是在這一方法的基礎上進行修正而得來的。2.2 隨機介質理論法 隨機介質理論將巖土體視為一種“隨機介質”，將開挖巖土體引起的地表下沉視為一個隨機過程。從統計觀點，可將整個隧道開挖看作無限多個無限小的開挖對上部地層影響的總和。如圖 1 所示的一個開挖單元，在不排水、不固結、密度不變化條件下，當開挖單元完全塌落時，上部地層的坐標點( x ，y ，z)的下沉[2](即地表的橫向沉降槽)為 式中： r (z)為微單元開挖在深度為 z 的水平面上的主要影響半徑，或稱為主要影響范圍。 根據荷蘭學者 S. Knothe[10]提出的采礦工程中的經驗，沉陷槽主要影響范圍為r ( z)= z/tanβ (5) 式中： β 為隧道上部圍巖的主要影響角。 根據上述定義，對于地面沉降槽( z = z0)，β 的含義如圖 2 所示。 將式(4)對預先定義的某種類型的塌陷形式在塌陷面積上進行積分(如圖 3 所示)，就可獲得該情況下隧道上覆地層的位移：3 隨機介質理論與 Peck 法的關系 在式(3)中， AV l的物理意義就是隧道開挖后的收斂面積(即隧道斷面面積的減小)。假定一個微型隧道用微元 dξ dη表示(且完全塌陷)，則收斂的面積應為 d ξdη，將其代替式(3)中的 AVl ，可得 經過式(9)的轉換就可得到與 Peck 法完全相同的結果。因此可明確以下結論：對于一個足夠小的開挖單元引起的地面沉降，隨機介質理論和 Peck法得到的沉降槽分布特點和趨勢一致，若二者采用相同的沉降槽寬度，即式(9)成立，則具體沉降計算結果也是一致的。這里所謂的“足夠小的開挖單元”，在工程中可理解為：相應于其開挖半徑或開挖面積，其埋深足夠大。這一結論將在后面進一步用計算結果證明。 經過上述推導分析，可看到 Peck 法可看作是隨機介質理論法在埋深較大的小斷面隧道的一個近似，即 z 0 /R(R 為隧道開挖半徑)足夠大的情況。由此也可解釋 2 種方法在很多情況下得到的結果也比較近似的原因。而隨機介質方法得到的地表沉降曲線則相當于一系列微元開挖引起的地表高斯曲線的疊加，與隧道開挖面的幾何性質有關系，因此嚴格意義上講一般不符合高斯分布。 綜上所述，Peck 法的適用條件應該是埋深大、半徑小的隧道開挖。對于淺埋的大斷面隧道，其引起的地面變形不可避免地要受到開挖斷面形狀和隧道收斂具體情況的影響。隨機介質理論由于是直接基于隧道開挖前后斷面面積上的積分，因此可反映斷面形狀和隧道收斂情況的影響，因此從理論上來看，要比 Peck 法適用性更廣。當然，對于一般城市地鐵隧道，以北京為例，埋深 20～30 m，直徑φ 4～6 m，能夠滿足上述 Peck 法的適用條件，因此具有良好的實用效果。4 隨機介質理論法的參數確定 在隨機介質理論中，需要確定 2 個關鍵參數：β和 △ R。而隨機介質理論是最近 3～5 a 來剛剛從礦業工程領域引入城市淺埋地鐵隧道開挖引起地面變形計算中，因此對相關的計算參數的基本規律和選用還缺乏經驗。相對而言，Peck 法在國內外的應用更加廣泛，也已經積累很多經驗。公式中所應用的2 個關鍵參數，即沉降槽寬度系數 K 和地層損失系數 Vl，不僅對其影響因素有很多研究成果，且也提出很多行之有效的計算或預測方法，各地還積累一定的經驗取值方法。 因此，在明確隨機介質理論法和 Peck 法的關系的基礎上，進一步討論 2 種方法的關鍵計算參數之間的關系，在隨機介質理論中引入 Peck 法的相關經驗，以便使隨機介質理論法的應用進一步符合工程實際。4.1 主要影響角β 在隨機介質理論法中，主要影響角 β 控制計算沉降槽的寬度。這與 Peck 法中的沉降槽寬度系數 K的作用是相同的。因此二者存在理論上的相關關系。 將式(5)代入式(9)，可得 式(10)即為 Peck 法中的沉降槽寬度 i 和隨機介質理論法中的主要影響角 β 的關系。以下對其中的沉降槽寬度 i 采用 2 種常用的表達式進行分析，進一步研究。 (1) Knothe 公式 在隨機介質理論中，目前采用的 Knothe 公式[10]為 如果將常用的 i = 0. 5z0代入式(10a)，則可得到β =38.66，相當于 Ф=12.68°。具有這樣指標的土一般為軟弱黏性土。這與“倫敦硬黏土中一般 K 的均值為 0.5 左右”的一般概念明顯不符。可見，若按照土的實際內摩擦角? 值代入計算，將得到較小的 β 角，也會得到較大的影響范圍，最終計算得到的沉降槽會過于平緩。 (2) 本文建議方法 采用 i = Kz0，則式(10a)可進一步寫為 根據不同土類的 K 的經驗值(主要來源于英國)，繪于圖 4 中。同時圖中還繪出根據目前普遍采用的 Knothe 公式得到的曲線。由圖 4 可知，在土中隧道開挖引起的沉降槽寬度的基本規律與 Knothe公式相反，即隨著土層內摩擦角的增大，沉降槽寬度減小。這主要是由于 Knothe 公式主要適用于各類巖石，與土作為散體介質的沉陷變形機制不同所致。一個直觀的概念是，砂類土的沉降槽相對于硬黏性土來說要窄而深，這是符合工程實際的。采用一個線性關系[11，12]可很好地描述上述數據，即K =1-0.02Ф (14) 式(15)是根據隧道開挖、土質情況直接得到的影響角的一個初步的經驗計算公式，在工程實踐中易于應用，且采用加權平均的辦法，很容易考慮分層土的情況，是本文建議在工程中采用的方法。4.2 斷面收縮半徑△R 隨機介質理論方法中的斷面收縮半徑△R 和Peck法中的地層損失系數Vl在計算中具有相同的作用，均以某種形式反映隧道開挖后斷面面積的變化情況，因此二者之間的關系是顯而易見的。經過簡單的面積計算公式推導，斷面收縮半徑?R 可方便地與地層損失系數 Vl建立關系[13]，本文不再贅述。5 算例分析5.1 2 種方法預測結果的基本規律 為驗證上述分析結果，分別采用隨機介質法和Peck 法計算不同埋深的圓形隧道的地面沉降情況。隧道半徑為 3 m，半徑收縮 0.1 m，影響角 50°。換算 Peck 參數為地層損失系數 6.56%，沉降槽寬度系數 0.336。計算結果如圖 5，6 所示。
