地鐵控制基標的歸化改正原理和編程實現董偉東 秦長利（北京城建勘測設計研究院 100101）[摘要]介紹控制基標在地鐵建設中的作用和測設步驟，總結鋪軌基標歸化改正計算的理論依據和基本方法，建立了數學模型；同時在VB6.0環境下編程實現了歸化改正點位的自動判定和改正值的自動計算。最后給出編程原理、流程圖和工程實例。[關鍵詞] 地鐵 控制基標 歸化改正1.鋪軌基標在地鐵工程中的地位和作用 鋪軌基標是高標準軌道混凝土整體道床的軌道鋪設控制點，精確地測設鋪軌基標是保證軌道施工質量的關鍵。近年來，我國迅速發展的地鐵、輕軌交通，對列車安全行駛的要求越來越高，這就對鋪軌精度提出了更嚴格要求，因此精確測設鋪軌基標是保證地鐵軌道高精度施工的重要環節。 鋪軌基標沿線路布設成導線形式，按精度等級可劃分為控制基標和加密基標，測設時先測設控制基標，然后，利用控制基標測設加密基標。鋪軌基標埋設位置有兩種，即位于線路中線或線路中線的一側。鋪軌基標測量的實質是按照設計線路和鋪軌綜合設計圖的要求，以一定的間隔，在線路中線或其一側測設具有精確平面坐標和高程的標志，作為鋪軌的平面和高程依據。2.控制基標測設的一般步驟 控制基標的三維坐標在測設之前由測繪工程師根據鋪軌綜合設計圖計算得出，測設控制基標大致分為三個步驟：（1）初測：按三維坐標把控制基標放樣到實地。（2）調線測量：以附合導線形式串測控制基標，檢測相鄰控制基標間的夾角與距離是否滿足規范限差要求。（3）歸化改正：根據調線測量成果計算控制基標間各夾角與理論值的較差，如有超限，則對部分或全部控制基標點位進行歸化改正，使各控制基標間的幾何關系滿足限差要求。控制基標間高差關系一般好控制，在此不贅述。3.歸化改正的一般方法和存在的問題3．1一般方法：(1)坐標法：根據調線測量平差結果，計算各控制基標坐標改正數（Vx，Vy），分別改正。(2)角度距離法：根據控制基標串測導線的角度、距離偏差，沿線路垂直方向調整控制基標點位，使相鄰控制基標的夾角滿足限差要求。 上述方法中坐標法能嚴格將點位改正到理論位置，但計算煩瑣，實地操作較困難，一般不被采用。而角度距離法在滿足施工需要的前提下，合理忽略距離偏差，重點考慮角度偏差，計算、操作相對簡單，在工程中得到普遍應用。3．2存在問題： 通常進行角度距離法歸化改正時，人為判斷和選取需改正的點位，憑借經驗試探該點橫向改正值。由于在串測的導線上，一點的橫向改正會引起相臨兩點間夾角的變化，因此須反復試探調整各點改正值，才能滿足調線和歸化改正要求。此方法既無固定規律又不嚴密，效率又低，實踐經驗不足的測量工作者很難掌握。4.歸化改正計算程序的編程思想和特點 筆者針對上述歸化改正中存在問題，在VB6.0下開發了控制基標歸化改正計算程序，并在北京地鐵、伊朗德黑蘭地鐵控制基標測量中得到了驗證和應用。實踐表明，該程序計算結果完全能夠滿足現行規范精度要求，解決了長期困擾測量工作者的難題。4.1 編程思想：以角度距離法為出發點，總結點位橫向改正值與角度改正數的變動規律，建立較合理的數學模型，尋求簡潔實用的計算方法，實現歸化改正點位自動選取與對應改正值的自動計算。4.2 特點 ：（1）計算快捷，直觀。（2）結果準確，滿足施工精度要求。（3）參數可自由設置，靈活實用。剩余夾角改正數限差、點屬性[注1] 可由用戶設置，可強制調整指定點的改正值。不受線路形狀、基標布設形式限制。5.歸化改正原理和數學模型 圖一是控制基標以附合導線形式串測示意圖,附合導線點數為n+3，邊數為n+2，其中虛線表示控制基標串測附合導線理論位置，實線表示平差后的附合導線。
圖一 控制基標串測示意圖圖一中各符號的意義為：Pi：第i個導線點（控制基標）的點名。Si：第i-1點到第i 點的距離(觀測值與理論值相差微小，以觀測值表示)。α0、αn：附合導線兩端的已知方位角。β’i：第i個控制點上的轉折角理論值；βi：第i個轉折角平差后的觀測值。ui：第i點沿線路法線方向的歸化改正數，含正負號。正值表示向觀測角一側改正。vi：轉折角改正數，vi =β’i -βi；5.1 歸化改正原理： 已知轉折角改正數vi（i=0，1，2…n）和觀測邊si（i =1，2…n），在Vi剩=0（Vi剩 為轉折角改正數殘差；i=0，1，2…n）或S (vi剩^2)=min(最小)的條件下，求各歸化改正數ui（i =0，1，2…n）。5．2數學模型的建立：為求得U，下面討論④式解的情況：考察④式的系數矩陣B的秩有：R（B）<=(n-1)<n+1,知B不可逆,方程④不是唯一解;當R(B|U)=R(B),相容方程④有解，且有無窮多解。當R(B|U)≠R(B),矛盾方程④無解。 針對以上兩種情形,為求得④式的最優解，引入工程數學的“廣義逆”(g逆)概念。設B的廣義逆矩陣為B▔，最小范數g逆為Bm▔,最小二乘g逆為Bl▔;B的Moore-Penrose廣義逆為B 。則（1）當R(B|U)=R(B)＜n+1時,相容方程④的最小范數解不唯一，它的一個解為 U=（1/ρ）Bm▔V ⑤此時，U結果唯一，且滿足 ||U||（U的范數）=最小。亦即橫向歸化改正值的平方和最小。 對于等邊導線，設S1=S2=…=Sn=S,q=1/S 則④式中的B可寫為: 可見,等邊導線歸化改正只有唯一解⑤’,它是⑤的特殊形式,同樣滿足||U||=最小。此時R（B）=R（B|U）=n-1。 此外等邊導線具有兩個重要規律：即滿足兩個公式（③和③’）。③’為等邊導線所特有，也可用于檢驗等邊導線觀測值是否含有粗差。③是所有導線具有的規律，歸化改正數的殘差向量也符合這一規律，所以③除能檢驗觀測值是否含有粗差外，還可以檢驗歸化改正結果是否正確。（2）當R(B|U) ≠R(B)時,矛盾方程④無解，但可求最優近似解，即最小二乘解（不唯一），其一個解為 U=（1/ρ）Bl▔V ⑥⑥可使方程④殘差向量的范數最小，即||ρBU||=最小。也就是附合導線的轉折角改正數的殘差向量的平方和為最小。綜合（1）、（2）兩種情況，即無論方程④有解或無解，均可得到最優解，并可統一寫為下式： U=（1/ρ）B V ⑦ 在（1）的情形下，⑦是④的一個最小范數解；在（2）情形下，⑦是④唯一的最小二乘最小范數解。④、⑤、⑥三式或④、⑦二式即為控制基標歸化改正的數學模型。 不論對于Bm-、Bl-還是B +，求解均有兩種基本方法：滿秩分解法、初等變換法。但精確解算十分繁瑣，編程較難實現。實際編程是將V的殘差向量（即轉折角剩余改正數）的所有分量歸化改正到滿足限差要求為止。實踐表明，該法可達到秒級精度要求。6.程序流程圖程序流程圖見圖二 圖二 程序流程圖6.工程實例 本例點數包括兩端4個固定點共16個，邊數包括兩條起算邊共15條。用程序按5”限差計算，其中，折角改正數由轉折角理論值減去觀測值得到。計算成果見表一。表一：歸化改正計算成果表7.結束語 該控制基標歸化改正程序，經過多年在北京、伊朗德黑蘭地鐵基標測量工程中使用，不僅可滿足現行規范和施工要求，而且提高了工程效率和質量。歸化改正程序必將在今后城市地下鐵道、輕軌交通工程的鋪軌基標工作中發揮其應有作用。同時，本歸化改正程序對精密線形工程的高精度放樣,也有一定的實用和參考價值。[注1]點屬性：1表示固定點；0表示未知點（參與歸化改正計算）。[注2]變換方法為：從第1行起，后兩行加到前一行，依次類推到倒數第3行；再從倒數第2行起，每行加后邊一行，依次類推至第1行。參考文獻：[1] 秦長利。地鐵鋪軌基標測量方法探討。鐵路航測，1999（3）[2]北京城建勘察測繪院.《地下鐵道、輕軌交通工程測量規范》（GB50308-1999）.中國計劃出版社, 2000年5月第一版[3] 陳永奇.《工程測量學》. 測繪出版社, 1995年5月第二版[4]於宗壽 魯林成。《測量平差》。測繪出版社,1983年6月第二版作者簡介：董偉東（1975-），男，北京城建勘測設計研究院工程師。Email：dwd2002@sohu.com
圖一 控制基標串測示意圖圖一中各符號的意義為：Pi：第i個導線點（控制基標）的點名。Si：第i-1點到第i 點的距離(觀測值與理論值相差微小，以觀測值表示)。α0、αn：附合導線兩端的已知方位角。β’i：第i個控制點上的轉折角理論值；βi：第i個轉折角平差后的觀測值。ui：第i點沿線路法線方向的歸化改正數，含正負號。正值表示向觀測角一側改正。vi：轉折角改正數，vi =β’i -βi；5.1 歸化改正原理： 已知轉折角改正數vi（i=0，1，2…n）和觀測邊si（i =1，2…n），在Vi剩=0（Vi剩 為轉折角改正數殘差；i=0，1，2…n）或S (vi剩^2)=min(最小)的條件下，求各歸化改正數ui（i =0，1，2…n）。5．2數學模型的建立：
為求得U，下面討論④式解的情況：考察④式的系數矩陣B的秩有：R（B）<=(n-1)<n+1,知B不可逆,方程④不是唯一解;當R(B|U)=R(B),相容方程④有解，且有無窮多解。當R(B|U)≠R(B),矛盾方程④無解。 針對以上兩種情形,為求得④式的最優解，引入工程數學的“廣義逆”(g逆)概念。設B的廣義逆矩陣為B▔，最小范數g逆為Bm▔,最小二乘g逆為Bl▔;B的Moore-Penrose廣義逆為B 。則（1）當R(B|U)=R(B)＜n+1時,相容方程④的最小范數解不唯一，它的一個解為 U=（1/ρ）Bm▔V ⑤此時，U結果唯一，且滿足 ||U||（U的范數）=最小。亦即橫向歸化改正值的平方和最小。 對于等邊導線，設S1=S2=…=Sn=S,q=1/S 則④式中的B可寫為: 可見,等邊導線歸化改正只有唯一解⑤’,它是⑤的特殊形式,同樣滿足||U||=最小。此時R（B）=R（B|U）=n-1。 此外等邊導線具有兩個重要規律：即滿足兩個公式（③和③’）。③’為等邊導線所特有，也可用于檢驗等邊導線觀測值是否含有粗差。③是所有導線具有的規律，歸化改正數的殘差向量也符合這一規律，所以③除能檢驗觀測值是否含有粗差外，還可以檢驗歸化改正結果是否正確。（2）當R(B|U) ≠R(B)時,矛盾方程④無解，但可求最優近似解，即最小二乘解（不唯一），其一個解為 U=（1/ρ）Bl▔V ⑥⑥可使方程④殘差向量的范數最小，即||ρBU||=最小。也就是附合導線的轉折角改正數的殘差向量的平方和為最小。綜合（1）、（2）兩種情況，即無論方程④有解或無解，均可得到最優解，并可統一寫為下式： U=（1/ρ）B V ⑦ 在（1）的情形下，⑦是④的一個最小范數解；在（2）情形下，⑦是④唯一的最小二乘最小范數解。④、⑤、⑥三式或④、⑦二式即為控制基標歸化改正的數學模型。 不論對于Bm-、Bl-還是B +，求解均有兩種基本方法：滿秩分解法、初等變換法。但精確解算十分繁瑣，編程較難實現。實際編程是將V的殘差向量（即轉折角剩余改正數）的所有分量歸化改正到滿足限差要求為止。實踐表明，該法可達到秒級精度要求。6.程序流程圖程序流程圖見圖二 圖二 程序流程圖6.工程實例 本例點數包括兩端4個固定點共16個，邊數包括兩條起算邊共15條。用程序按5”限差計算，其中，折角改正數由轉折角理論值減去觀測值得到。計算成果見表一。表一：歸化改正計算成果表7.結束語 該控制基標歸化改正程序，經過多年在北京、伊朗德黑蘭地鐵基標測量工程中使用，不僅可滿足現行規范和施工要求，而且提高了工程效率和質量。歸化改正程序必將在今后城市地下鐵道、輕軌交通工程的鋪軌基標工作中發揮其應有作用。同時，本歸化改正程序對精密線形工程的高精度放樣,也有一定的實用和參考價值。[注1]點屬性：1表示固定點；0表示未知點（參與歸化改正計算）。[注2]變換方法為：從第1行起，后兩行加到前一行，依次類推到倒數第3行；再從倒數第2行起，每行加后邊一行，依次類推至第1行。參考文獻：[1] 秦長利。地鐵鋪軌基標測量方法探討。鐵路航測，1999（3）[2]北京城建勘察測繪院.《地下鐵道、輕軌交通工程測量規范》（GB50308-1999）.中國計劃出版社, 2000年5月第一版[3] 陳永奇.《工程測量學》. 測繪出版社, 1995年5月第二版[4]於宗壽 魯林成。《測量平差》。測繪出版社,1983年6月第二版作者簡介：董偉東（1975-），男，北京城建勘測設計研究院工程師。Email：dwd2002@sohu.com
