【摘要】本文從古典耦合顫振理論、分離流顫振模型和三維橋梁額振分析等三個方面簡要回顧了空氣動力作用下大跨度橋梁風振穩(wěn)定性研究的歷史，比較全面地綜述了橋梁額振穩(wěn)定性理論由簡單到復雜，由解析方法到數(shù)值方法、由二維顫振到三維額振以及由多模態(tài)參與到全模態(tài)參與的發(fā)展過程。為了便于定量地比較這幾種顫振分析理論和方法的適宜條件和精度，以完全流線形的懸臂機翼和鈍體截面的上海南浦大橋為例，計算和分析了顫振臨界風速的數(shù)值結果。
關鍵詞 空氣動力學 大跨度橋梁 顫振 穩(wěn)定性 臨界風速
一、前言
浸沒在氣流中的任一物體，都會受到氣流的作用，這種作用通常稱為空氣力作用。當氣流繞過一般為非流線形（鈍體）截面的橋梁結構時，會產生渦旋和流動的分離，形成復雜的空氣作用力[1]。當橋梁結構的剛度較大時，結構保持靜止不動，這種空氣力的作用只相當于靜力作用；當橋梁結構的剛度較小時，結構振動得到激發(fā)，這時空氣力不僅具有靜力作用，而且具有動力作用[2]。風的動力作用激發(fā)了橋梁風致振動，而振動起來的橋梁結構又反過來影響空氣的流場，改變空氣作用力，形成了風與結構的相互作用機制。當空氣力受結構振動的影響較小時，空氣作用力作為一種強迫力,引起結構的強迫振動；當空氣力受結構振動的影響較大時，受振動結構反饋制約的空氣作用力，主要表現(xiàn)為一種自激力，導致橋梁結構的自激振動。當空氣的流動速度影響或改變了不同自由度運動之間的振幅及相位關系，使得橋梁結構能夠在流動的氣流中不斷汲取能量，而該能量又大于結構阻尼所耗散的能量，這種形式的發(fā)散性自激振動稱為橋梁顫振[3]。橋梁顫振物理關系復雜，振動機理深奧，因而橋梁顫振穩(wěn)定性研究也經歷了由古典耦合顫振理論到分離流顫振機理再到三維橋梁顫振分析的發(fā)展過程。
二、古典耦合顫振理論
盡管由氣動彈性影響所引起的機翼動力失穩(wěn)現(xiàn)象早在人類實現(xiàn)空中飛行夢想的最初年代里已經觀察到了，但是非定常機翼顫振理論直到20年代初才取得了實質性的進展。
1． Theodorsen機翼顫振理論
1922年，Bimbaum利用Prandtl的約束渦旋理論，提出了第一個簡諧振動平板機翼的氣動升力解析表達式。此后
Theodorsen，Wagner，Glanert，Kussner，Duncan和 Collar等氣動專家對二維振動平板的非定常氣動力表達式進行了10多年的深入研究[4,5]，直到
1935年，才由Theodorsen用勢能原理第一次求出了這一問題最完整的解答--Teodorsen平板機翼氣動升力
Ln和升力矩Mα的表達式[6]．
式中，ρ為空氣密度；B為機翼密度；U為空氣流速;h和為垂直位移及其一階導數(shù)；α和為傾角及其一階導數(shù)；k為折算頻率，且k＝Bω/U；ω為振動圓頻率；c（k）稱為Theodorsen函數(shù)。建立在平板機翼氣動力基礎之上的機翼顫振分析方法，就是著名的Theodorsen平板機翼顫振理論。類似于式（l）中的空氣力解答也曾經由
Kussner和Schwarz,Cicala，Schmieden，Ellenberger等人提出，但是應用最廣泛的還是Theodorsen表達力[3-5]。
2．Bleich懸索橋顫振分析
1940年秋天，美國華盛頓州Tacoma懸索橋風毀失事，人們很自然地將這一風振現(xiàn)象比擬為裹冰狀態(tài)輸電纜的馳振或平板機翼的顫振。Bleich試圖用Theodorsen平板機翼顫振理論來解釋這一事故，但是他發(fā)現(xiàn)居此計算得到的顫振臨界風速遠高于Tacoma懸索橋破壞當天的實際風速。顯然機翼顫振系數(shù)不能直接用于氣動現(xiàn)象更加復雜的鈍體截面中，例如Tacoma懸索橋的桁架加勁梁斷面。為此，BIeich又嘗試用考慮橋面斷面兩邊渦旋影響的附加升力項來修正Theodorsen氣動力表達式，并通過逐次逼近方法計算出了較為合理的懸索橋顫振臨界風速，從而建立起了懸索橋古典耦合顫振的分析方法［7］。
3． Kloppel/Thiele諾模圖
1961年，Kltw和Thiele將BIeich懸索橋古典耦合顫振理論的逐次逼近過程編制成計算程序，引入無量綱參數(shù)，分別繪制出不同阻尼比條件下顫振方程實部和虛部為零的兩條曲線的諾模圖，利用諾模圖可以直接求出顫振臨界風速[8]。該方法一直沿用到現(xiàn)在，例如ECCS中的附表[9].
4．Van der Put計算公式
1976年，van der put在Kloppel和Thiele諾模圖的基礎上，偏于安全地忽略了阻尼的影響，認為折算風速U/ωB和扭彎頻率比ε=ωα/ωh之間具有近似線性關系，從而導出了平板古典耦合顫振臨界風速Ucr的實用計算公式[10]:
式中，r/b為橋梁斷面的慣性半徑比，即
；b為橋梁的半寬度；m和J為橋梁斷面單位長度質量和質量慣矩，μ為橋梁與空氣的密度比，即
。
值得注意的是，以Theodorsen機翼古典耦合顫振理論為基礎的懸索橋古典耦合顫振理論存在著嚴重的缺陷，即忽視了流動的分離。由于實際橋梁結構的橫斷面并非理想的流線形截面或平板，當氣流流過橋梁橫斷面時存在著流動分離和渦旋脫落，而Theodorsen理論并不能反映這種情況[5]
三、分離流顫振機理
當氣流繞過振動著的非流線性截面時，在迎風面的棱角處氣流將發(fā)生分離，同時產生渦旋脫落，也可能發(fā)生再附，其流態(tài)十分復雜，簡單地采用Theodorsen表達式已經不能描述氣流作用在非流線體上的非定常空氣力[11]。
1．非定常氣動力實驗測量
Theodorsen機翼氣動力表達式是建立在有勢流沿著翼面流動基礎之上的。一旦氣流有分離時，這一假定立即失效，而流動分離所引起的失速顫振現(xiàn)象最早是在螺旋漿和航空發(fā)動機葉片上觀察到的。由于建立在分離流基礎之上的非定常氣動力表達式無法找到，因此從30年代開始，人們將注意力轉向用實驗方法來確定非定常氣動力，主要通過兩種方法來實施。一是直接測量法，即對確定形式振動的物體，采用拾振器、應變計或其他儀器直接測量氣動力分量；二是間接測量法，即間接地從振動的物體上計算氣動力的大小，這兩種方法同樣適用于機翼和橋梁斷面。
1958年，F(xiàn)orshing采用直接測量法測得了各種棱柱體的非定常氣動力［12］，而Ukeguchi等人將
Halfman測量機翼非定常氣動力的方法，首次用到了橋梁斷面非定常氣動力的測定中，他們采用機械方法在兩個自由度方向用不同頻率的簡諧波激發(fā)剛體橋梁節(jié)段模型振動，在模型的支承處測量氣動力[13]。隨后這種強迫振動技術在日本得到了很大的發(fā)展，被廣泛地用來測定鈍體斷面的氣動力和非線性性能[14－16]。近年來，用于高速電子壓力掃描閥技術的發(fā)展，使得多點同步測量得以實現(xiàn)，這項技術的應用開辟了非定常氣動力測量的又一新途徑【17】。
與直接測量法相反，間接氣動力測量方法一般只需要比較簡單的實驗設備，但是對實驗的要求更高，這一方法在橋梁氣動力學中的應用是由Scanlan首創(chuàng)的[l1][18]，很快在世界范圍得到普及［19］［20］.
2．非定常氣動力計算模型
橋梁結構分離流顫振實驗加理論方法的建立與完善是與著名氣動力專家R．H．Scanlan的貢獻緊密聯(lián)系在一起的。1967年，Scanlan首先提出對Theodorsen機翼氣動力表達式進行修正的建議【11】。Scanlan認為，對于非流線性的鈍體截面，不可能從基本的流體力學原理推導出類似于Theodorsen函數(shù)的氣動函數(shù)，但可以通過專門設計的節(jié)段模型風洞實驗測定小振幅條件下的氣動力參數(shù)--顫振導數(shù)（Flutter
Derivatives）來建立線性非定常氣動力計算模型［18］
1974年，Scanlan利用節(jié)段模型風洞實驗中實測的顫振導數(shù)反算出過渡函數(shù)（Indicial Function）[21]，并與Theodorsen函數(shù)進行了比較，結果發(fā)現(xiàn)兩種函數(shù)曲線相差很大，從而找到了利用古典耦合顫振理論分析鈍體橋梁顫振問題所造成的誤差原因。Scanlan還斷言，從理論上找到適合于各種非流線型斷面的過渡函數(shù)是不可能的。
3．M維顫振分析方法
一旦建立了非定常氣動力計算模型，氣動失穩(wěn)臨界狀態(tài)就很容易確定了，其中，最典型的方法就是將所謂阿'片條理?quot;應用于氣流與結構相互作用之中，確定出一個垂直于橋軸線方向的二維節(jié)段，假定沿著橋軸線方向的任意三維影響都可以忽略不計，由此可得二維顫振方程[3]:
式中，J為每延米橋梁結構的質量傾矩；Ch和CG分別表示A和a方向的結構阻尼；Kh和Kα分別表示h和α方向的結構剛度。與傳統(tǒng)的機翼顫振類似，阻力方向的振動影響一般忽略不計。此外，還假定二維節(jié)段在h和α兩個方向的振動是小振幅的同頻簡諧振動，這樣就可以在傳統(tǒng)的顫振分析中采用隨折算頻率變化的非定常氣動力。
4．Selberg計算公式
在電子計算機誕生之前，顫振分析的數(shù)值計算工作一直是一項枯燥繁重的勞動。為了簡化這項枯燥的工作，人們提出了許多顫振簡化計算方法。對于平板機翼，由于每一種翼型的氣動力表達式都有一定的差異，因此需要對一系列的結構參數(shù)進行分析，才能有針對性地進行額振計算，Theodorsen和Garrick[24]在這方面作了大量細致的工作，找到了一些實用的機翼顫振計算公式。而在橋梁結構方面，許多研究人員也作出了相同的努力，其中Selberg實用計算公式是被引用得最多的一種二維顫振實用計算公式［25］：
式中，系數(shù)κ是用來修正不同形狀的橋梁斷面和不同來流攻角的，對于平板斷面，κ取1.0。與此同時，Kloppel和Weber，
Rocard，F(xiàn)randsen等人也先后提出過類似的二維顫振實用計算公式【26】。
四、三線橋梁顫振分析
Scanlan提出的非定常氣動力計算模型較好地解決了非流線形截面的非定常氣動力描述問題，其中二維顫振分析最為簡單實用。但是隨著橋梁跨徑的日益增大，結構剛度急劇下降，特別是側向剛度的下降，導致了側彎與扭轉振型緊密耦合。此外，結構各階自振頻率的差異很小，兩個或兩個以上振型參予顫振的可能性逐漸增加，因此，為了提高橋梁顫振分析精度，有必要尋求更精確的三維橋梁額振分析方法。
1．時域分析法
盡管橋梁顫振分析一般是在頻域內進行的，但是也出現(xiàn)了一些時域分析方法。早在70年代初，Scanlan，Beliveau和Budlong采用飛行器設計中的傳遞函數(shù)首先提出了全時域分析方法[21]，Bucher和Lin將這種方法推廣到了耦合模態(tài)顫振[27]。但是，這一方法的主要困難在于尋找與實驗所確定的氣動導數(shù)相對應的合適的過渡函數(shù)，特別是當截面為非流線型時，難度更大。近年來，人們之所以投入了大量的精力從事開發(fā)有效的非定常氣動力的時域表達式，主要是因為這種時域表達式既可與有限元結構計算模型相結合又能包含幾乎所有的非線性因素，而這些非線性因素以前是一概忽略的。時域方法的發(fā)展是與諸如日本
Akashi橋、丹麥Storebraelt橋和意大利的Messina橋等超大跨度橋梁的規(guī)劃和設計緊密聯(lián)系在一起的。
Miyata等人清楚地闡明了時域分析方法在橋梁抖振響應估計中的優(yōu)越性，特別是在采用有限元結構計算模型時的優(yōu)勢[28]，他們在片條假定的前提下，采用了傳統(tǒng)的準定常氣動力表達式。
Kovacs等人也曾提出過類似的方法[29]。但在另一方面，Diana等人應用不同折算風速下的氣動力系數(shù)等效線性化方法建立了一種所謂精確的準定常理論【30】，這一理論方法除了不能考慮氣動力時效影響和升力的展向相關性之外，在許多方面被證明是足夠數(shù)確的。
另一種自激力模型是采用與Laplace變換相對應的有理函數(shù)來近似表示非定常氣動力。實質上，這種思路與過渡函數(shù)是完全類似的。Xie等人將這一思想完善成狀態(tài)空間法用來分析多模態(tài)三維橋梁顫振問題【31，32】。類似的方法還曾經由Lin和Li【31】，M.S.Li【34】，Boonyapinio[35],
Fujino[36]等人提出。
2．多模態(tài)耦合顫振
三維橋梁顫振分析更多地是采用頻域分析方法。放棄片條假定后的三維橋梁顫振分析方法的應用還只有很短的歷史，這種分析主要通過兩種不同的途徑來實現(xiàn)：第一條途徑是將頻率或時域內的非定常氣動力直接作用到結構的三維有限元計算模型上，一般稱為直接方法；第二條途徑是把結構響應看作是分散在各階模態(tài)上的影響，然后將各階模態(tài)所對應的響應疊加起來，稱為模態(tài)疊加法。
直接法是由Miyata和Yamada提出的，他們把直接法歸納為用頻域內氣動導數(shù)所表示的一個復特征值問題【37】，這一方法的基本原理簡單，但主要缺陷在于需要大容量的計算機來求解費時的復特征值問題。因此，許多研究者提出了另一種方法，即模態(tài)疊加法，現(xiàn)有許多種頻域內的多模態(tài)參予顫振分析方法。Agar[38,39]和Chen[40,41]采用模態(tài)計術來求解線性二次特征值方程。作為機翼顫振分析方法一p－k的推廣，Nmini等人【42】和程【43】提出了更加一般性的p-k-F法，通過求解模態(tài)方為確定顫振前后的狀態(tài)。更進一步的還有Lin和Yang[44],Jones和Scanlan[45]，Tanaka等人[46]，Jain等人[47]直接利用行列式搜索法求解廣義特征矩陣的復特征值。
幾乎所有三維顫振分析都是在頻域中進行的，并且基于了模態(tài)疊加假定。這一假定認為固有模態(tài)之間的動力耦合是通過自激氣動力來實現(xiàn)的。然而，值得注意的是，這一假定存在著一些本質上的缺陷。首先多少階模態(tài)和那些模態(tài)參與了顫振失穩(wěn)，特別是在結構跨徑很大或在施工過程中結構總體剛度尚未完全達到時，極有可能發(fā)生有兩個以上的振動模態(tài)參與了顫振；其次，這種模態(tài)組合僅僅是顫振模態(tài)的一種近似表達式，沒有任何理由使人們相信這是完全精確的，特別是在參與顫振的模態(tài)之間缺乏幾何相似性時，顫振模態(tài)本身會變得非常復雜。正是考慮到這些因素，有必要建立一種更加綜合和精確的方法來分析顫振模態(tài)，增進對懸吊體系橋梁氣動失穩(wěn)機理的理解和認識。
3．全模態(tài)顫振分析
全模態(tài)顫振分析方法是由本文作者提出的一種適合于大跨度橋梁顫振計算的方法，它是在Scanlan非定常氣動力假定基礎上建立起來的一種頻域內顫振分析的精確方法，是對多模態(tài)顫振分析的一種推廣[48,49].
所謂精確方法，主要體現(xiàn)在兩個方面，首先全模態(tài)方法不再像多模態(tài)方法那樣將自激氣動力作為外力作用在橋梁結構上，而是把橋梁結構與繞流氣體作為一個相互作用的整體系統(tǒng)，建立系統(tǒng)顫振方法：
[B]{x}=λ[A]{x}
式中
五、算例比較
為了比較各種橋梁顫振分析方法的適用性和精確性，現(xiàn)以流線型斷面的懸臂機翼結構和鈍體截面的上海南浦大橋為例，分析和比較顫振臨界風速的計算結果。
1．懸臂機翼結構
第一個算例涉及到具有流線型斷面的懸臂機翼結構，主要考慮到該結構具有精確的非定常氣動力表達式，因而可以求得顫振臨界風速的解析解--Theodorsen解，表1列出了分別按照六種不同方法計算得到的顫振臨界風速及其與Theodorsen解的相對誤差，這六種方法包括Theodorsen解，古典耦合顫振的van
der Put實用計算公式，分離流二維顫振的Selberg實用計算公式，代表三維顫振時域分析方法的狀態(tài)空間法，代表三維顫振多模態(tài)參與頻域方法的p－k－F法，以及本文作者提出的全模態(tài)顫振分析法［49］。
上述計算結果表明，由于懸臂機翼顫振是一種古典耦合顫振，因此采用Van der Put計算公式精度較高，而采用分離流顫振假定的Selberg計算公式則誤差較大，在三種數(shù)值計算方法中，全模態(tài)顫振分析方法的計算精度最高。
2．上海南浦大橋
第二個算例為上海南浦大橋，該橋是帶有雙I字梁鈍體截面的結合梁斜拉橋，因此，不存在類似于機翼顫振的精確解。表2列出了分別按照其余5種方法的計算結果和彎扭兩個模態(tài)耦合顫振的計算結果及其與全模態(tài)分析結果的相對誤差。
上述計算結果表明，Van der Put計算公式和Selberg計算公式均不能用于鈍體截面的橋梁顫振計算，而其余四種數(shù)值分析方法的臨界風速計算結果均隨參與顫振的振型數(shù)量的增加而增大。
六、結語
大跨度橋梁顫振穩(wěn)定性分析始于Theodorsen的古典耦合顫振理論，Scanlan結合非流線型的橋梁斷面提出了分離流非定常氣動力表達式及其相應的分離流顫振理論，在此基礎上，逐步形成和完善了二維和三維橋梁顫振分析方法。因此，空氣動力作用下大跨度橋梁風振穩(wěn)定性研究經歷了由簡單到復雜、由解析方法到數(shù)值方法、由二維橋梁顫振分析到三維橋梁顫振分析以及由多模態(tài)參與顫振到全模態(tài)參與顫振的發(fā)展過程。
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